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VIGILANCE SUPER-SENIOR

VIGILANCE SUPER-SENIOR

Politique, survol de l'actu, réflexions, propositions, vus sous la loupe d'un super senior.

Cours de Maths avec www.villemin.gerard.free.fr

Souvenirs,,,souvenirs....

repris avec mes amis les juniors. les SUPER-JUNIORS

Bien malicieusement,

Philippe Boehler

Sommaire de l'ATLAS des MATHS

Débutants

Introduction pour néophytes de tout âge.

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Glossaire

Principaux thèmes de ce site avec aiguillages vers l'ensemble des pages du site.

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Encyclopédie

Dictionnaire des mots des mathématiques: DicoMotMaths.

Alphabet.

Symboles.

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Narratif

Quelques sujets expliqués qui visent à donner un guide pour aborder les nombres.

En cours

Outils

Recensement des outils mathématiques utiles aux démonstrations.

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Cours

Explications détaillées par rubriques mathématiques.

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Défis

Énigmes et casse-têtes.

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Culture

Définition de mots utiles: DicoCulture.

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Forme canonique :
Une fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous la forme :
f(x) = a(x - α)² + βa, α et β sont trois réels avec a ≠ 0.
Il s'agit de la forme canonique de f(x).
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 2(x - 1)² + 3 est une fonction polynôme de degré 2. On peut écrire f sous la forme ax ² + bx + c en développant l'expression précédente :
f(x) = 2(x - 1)² + 3
f(x) = 2(x² - 2x + 1) + 3
f(x) = 2x² - 4x + 2 + 3
f(x) = 2x² - 4x + 5



 

Forme factorisée :
Une fonction polynôme de degré 2 peut parfois s'écrire sous la forme :
f(x) = a(x - x1)(x - x2)a, x1 et x2 sont trois réels avec a ≠ 0.
Il s'agit de la forme factorisée de f(x).
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 2(x + 2)(x - 3) est une fonction polynôme de degré 2. On peut écrire f sous la forme ax ² + bx + c en développant l'expression précédente :
f(x) = 2(x + 1)(x - 3)
f(x) = 2(x² + x - 3x - 3)
f(x) = 2(x² - 2x - 3)
f(x) = 2x² - 4x - 6



 

Sens de variations :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 dont :
• la forme développée est f(x) = ax ² + bx + c
• la forme canonique est f(x) = a(x - α)² + β.

 
Si a > 0,
f est décroissante sur ]-∞;α] et croissante sur [α;+∞[, où α =

.
tableau de variations d'une fonction de second degré avec a>0
f admet β comme minimum atteint pour x = α, avec α =

et β = f(α).
Si a < 0,
f est croissante sur ]-∞;α] et décroissante sur [α;+∞[, où α =

.
tableau de variations d'une fonction de second degré avec a<0
f admet β comme maximum atteint pour x = α, avec α =

et β = f(α).



 

Courbe représentative :
La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthonormé d'origine O est une parabole de sommet S(α ; β) (α =

et β = f(α)).
• Si a>0, la parabole est tournée vers le haut.
• Si a<0, la parabole est tournée vers le bas.

Exemples :

1) La courbe ci-dessous représente la fonction f dont :
• la forme canonique est f(x) = (x - 2)² + 1
• la forme developpée f(x) = x² - 4x + 5.
 
courbe représentative de la fonction du second degré f(x) = (x - 2)² + 1
On a : a=1, b=-4, c=5, α=2 et β=1.

• a>0, la parabole est tournée vers le haut.

• le sommet S de la parabole a pour coordonnées (2 ; 1) ( c'est à dire (α ; β) )

• la parabole coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 5) ( c'est à dire (0 ; c) )

• la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, f ne peut donc pas s'écrire sous une forme factorisée.

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